73

No recordo quan va ser que vaig arribar a la conclusió que, sovint, les coses no ens agraden perquè no les entenem o no les coneixem. Un bon exemple en són les matemàtiques. En el meu cas, de petit no em desagradaven. És clar que les matemàtiques és un terme molt ampli. Més enllà de sumes i restes, recordo que quan anava a l’escola m’agradava molt el càlcul mental. Sigui dit de passada… n’he perdut molta destresa… però bé… Naturalment, no és l’única disciplina matemàtica, per anomenar-ho d’alguna manera. També hi ha àlgebra, teoria de números, trigonometria, estadística, combinatòria, teoria de grafs, probabilitat, estadística, criptografia… I sovint diem que no ens agraden perquè, o bé no les entenem, o bé no ens les expliquen de manera motivadora.

Aquesta entrada va dedicada a totes les persones que no veuen belles les matemàtiques. Invito a veure els números des d’una altra perspectiva i, de ben segur, que algú quedarà una mica amb la boca oberta. Avui, parlem del número 73. Certament, alguns fans de The Big Bang Theory ja us haureu adonat que és el número preferit del Sheldon. Per ell, és el millor número que existeix. I, francament, com veurem, motius no n’hi falten.

En primer lloc, el 73 és un número primer. Què significa primer? doncs que és un número natural (qualsevol dels números que s’utilitzen per comptar) major que 1 i que únicament es pot dividir per dos números: l’1 i ell mateix, en aquest cas el 73. Per parlar dels números primers —tema fascinant— podríem fer una altra entrada un altre dia, però avui no parlem d’aquest conjunt sinó només del 73.

Vaja, tot una estrella el 73… Sí! és un número estrella també! Què significa això? No sé si ho sabré explicar… Un número estrella seria aquell número que genera un hexagrama (estrella de sis puntes). Si ho interpretem bé, partint d’un punt, si creem una estrella de sis puntes al seu entorn, necessitem 13 punts; si volem un nivell més, necessitem 37 punts, i si fem un  nivell més, necessitem… 73 punts. Aquí tenim les tres primeres seqüències:

En aquest cas, veieu que la seqüència correspon a una fórmula concreta.

Veiem també que l’antecessor del 73 en aquest cas és el 37. Que curiós… sí, perquè els números 37 i 73 són números remirps. Quin nom més estrany… alguns us haureu adonat que remirp és primer al revés. Així doncs, un número remirp és un número primer que quan se’l capgira, esdevé un altre número primer. Perquè sí, el 37 també és un número primer! En aquest cas, parlem de palíndroms primers. És a dir, tant si llegim 37 com 73, parlem de números primers en qualsevol d’ambdós casos. No obstant això, el terme palíndrom se sol aplicar més aviat a lletres i significa que tant si llegim d'esquerra a dreta com de dreta a esquerra, llegim el mateix. Uns exemples: rajar, rallar, rapar, ramar, rasar, ratar, refer...

Espereu que hi ha més coses del tot sorprenents. Els números 37 i 73 són, respectivament, el 12è i 21è números primers. També palíndroms, tot i que no primers en aquest cas. Vegem els números primers dels cent primers números naturals:

A més, algú s’haurà adonat que el 21 és fruit de multiplicar 7x3. Aquesta propietat, en matemàtiques s’anomena propietat producte. De fet, en aquesta mateixa ciència existeix el primer de Sheldon i està absolutament definit: l’enèsim número primer p_n (21è primer, el 73: p₂₁) serà un primer de Sheldon (73) si compleix que el producte dels seus dígits és n (7x3) i si, a més a més, el número que s’obté d’invertir les seves xifres, rev(p_n) (12è), és el rev(enèsim) número primer (12è número primer, el 37, que és el revés de 73). És a dir, si rev(p_n) = Prev(n). Rebufa! Com mola el 73! Val a dir que, fins a data d’avui, és l’únic que té aquesta característica!

Però hi ha més... sí, encara més! Ara que hem introduït el tema palíndrom, podem jugar una mica més. Per fer-ho, hem de canviar de base. Hem dit que 7x3 = 21. Això és així en base decimal. Però de bases n’hi ha d’altres. Nosaltres coneixem perfectament el sistema decimal, però també coneixereu el binari (0 i 1). Altres menys comuns són l’octal (de 0 a 7) i l’hexadecimal (de 0 a 9 i de A a F). Bé, doncs, tenim que 73, és el 21è número primer, i és el producte de 3x7. Ordenats de menor a major, tenim: 3, 7, 21 i 73. D’aquests números podem observar que:

• 3₁₀ → 11₂: 3 en base 10, correspon a 11 en base 2. Aquest número és un palíndrom i un repunit. Un número repunit significa que està format només per números 1. A tall d'exemple, el quatre en binari correspon a 100 i com que té 0 no ho seria.
• 7₁₀ → 111₂: número palíndrom i repunit.
• 21₁₀ → 10101₂: palíndrom
• 73₁₀ → 1001001₂: palíndrom.

Si passem a sistema octal tenim que:

• 73₁₀ → 111₈: també obtenim un número palíndrom i repunit. De fet, fins l’actualitat, és l’únic primer decimal en base 8 que existeix:

1      1      1      1 → 4681₁₀, que és divisible per 31.

        1      1      1 → 73₁₀, que només és divisible per 1 i ell mateix.

                  1      1 → 9₁₀, que és divisible per 3.

                  1 → 1₁₀, que no es considera número primer.

Una nova curiositat sobre el 73, i és que si el passem a base cinc, obtenim el número 243₅, que ens dóna els tipus de grups de números primers sexis dels quals els 73 en forma part. Què és un número sexy? Sexy ve del llatí i significa sis, de manera que són números que entre ells hi ha una diferència de sis números naturals. Però per complicar la cosa… farem que a més que els números tinguin diferència de 6, a més siguin primers. En aquest cas, tenim:

• Parelles:      31|37            37|43            67|73            73|79
• Triplets:        31|37|43      67|73|79
• Quàdruples: 61|67|73|79

Que catoxondo que és el número 73… I ja hauríem d’anar acabant… però no podem fer-ho sense abans, parlar dels números primers bessons, que no són altres que parelles de números primers que tenen una diferència de dos números naturals: 3-5; 5-7; 11-13; 17-19; 29-31; 41-43; 59-61; 71-73. El 73 forma part de la 8ena parella de primers bessons. Impressionant! que comença per I, que si mirem la taula ASCII, correspon al caràcter número… 73!

Bufa… amb el 73… Entendreu perquè era el número preferit del Sheldon! I potser a partir d’ara també el preferit de més d’un! I, quants matemàtics més hi hauria si ens haguessin explicat la matèria d’aquesta manera?